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Principio Palomar

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 PRINCIPIO DEL PALOMAR El Principio del Palomar (o Principio de Dirichlet) establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y n > m, entonces al menos un palomar debe contener más de una paloma. FORMULACIÓN MATEMÁTICA Si n > m, entonces al distribuir n objetos en m grupos, al menos un grupo debe contener al menos ⌈n/m⌉ objetos. Donde ⌈n/m⌉ representa el menor entero mayor o igual que n/m. FORMULACIÓN GENERALIZADA Si n objetos se distribuyen en m grupos, entonces al menos un grupo debe contener al menos ⌈n/m⌉ objetos, y al menos un grupo debe contener a lo sumo ⌊n/m⌋ objetos. 10 palomas en 9 palomares: al menos un palomar tiene más de una paloma DEMOSTRACIÓN POR CONTRADICCIÓN Supongamos que cada palomar contiene a lo sumo una paloma. Entonces, el número máximo de palomas sería igual al número de palomares (m). Pero tenemos n palomas, donde n > m. Esto es una contradicción, por lo que nuestra suposición es falsa. Por lo tanto, al menos un palomar debe contener más d...
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Funciones

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 FUNCIÓN GENERAL Una función f: A  ⭢ B es una relación que asocia a cada elemento x  ∈ A exactamente un elemento y  ∈ B. Definición normal   Una función f de A en B es un subconjunto de A x B tal que: Para todo x  ∈ A, existe al menos un par (x,y)  ∈ f. Si (x,y)  ∈ f y (x,z)  ∈ f, entonces y = z. Notación: f: A  ⭢ B, x  ↦  f (x) A es el dominio de f B es el codominio de f El conjunto {f(x) | x ∈ A} es el rango. FUNCIÓN INYECTIVA Una función es inyectiva  si cada elemento del conjunto de llegada corresponde como máximo a un elemento del conjunto de partida. Otra definición es la siguiente: una función f: A -> B es inyectiva, si no existen 2 elementos de A (conjunto de llegada) con una misma imagen. Veamos algunos ejemplos: Para determinar si una función es inyectiva, tenemos que analizar la siguiente condición: FUNCIÓN SOBREYECTIVA Una función es sobreyectiva  si cada elemento del conjunto de llegada (codo...
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Relaciones

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 ¿QUÉ SON LAS RELACIONES? Una Relación R de A a B es un subconjunto del producto cartesiano  A x B. Es decir, R  ⊆  A x B. Ejemplo de Relación: Si A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c}, una posible relación R podría ser: R = { (1,a), (2,b), (3,c) } Esta relación asocia cada número con una letra específica. RELACIÓN REFLEXIVA: Una relación R sobre un conjunto A es reflexiva si todo elemento está relacionado consigo mismo, es decir: ∀a ∈ A, (a,a) ∈ R Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3}, entonces una relación reflexiva puede ser: R = {(1,1), (2,2), (3,3)} RELACIÓN SIMÉTRICA  Una relación R es simétrica si cuando un elemento está relacionado con otro, el otro también está relacionado con el primero, es decir: Si (a,b) ∈ R, entonces (b,a) ∈ R Ejemplo: Sea A = {1, 2}, entonces una relación simétrica puede ser: R = {(1,2), (2,1)} RELACIÓN TRANSITIVA Una relación R es transitiva si cuando un elemento está relacionado con otro, y ese otro con un tercero, entonces el primero también está ...
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Productos Cartesianos

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¿QUÉ SON LOS PRODUCTOS CARTESIANOS? E l  producto cartesiano  de dos  conjuntos  es una  operación , que resulta en otro conjunto, cuyos  elementos  son todos los  pares ordenado s  que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto. Formula A x B = { (a,b) | a  ∈ A   y    b  ∈ B } Ejemplo Producto cartesiano del los conjuntos { x , y , z } y {1,2,3} EJEMPLO 2 Si A = {1,2} y B = {a,b,c}, entonces: A x B = {(1.a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)} Video de ejemplo
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